Поиск пифагоровых тетраэдров

Я вижу, что задача нахождения пифагоровых тетраэдров алгебраически равносильна задаче нахождения рациональных решений неопределенного уравнения (38) при условиях 0<ξ<1, 0<η<1, 0<ς<1. Легко убедиться прямой проверкой, что следующие тройки являются решениями.

Таблица 1

ξ η ς 1)  5/6  2/11  3/13 2)  5/8  1/11  9/13 3)  1/7  9/11  5/16 4)  5/6  6/11  1/17 5)  8/9  1/11  5/17 6)  2/5  5/11  7/18  7)  3/4  1/10  11/21 8)  2/13 17/22   9/25 9)  3/7   3/8  11/25 10)  21/23  1/24  11/25 11)  7/18  1/22  23/25

Это дает возможность найти одиннадцать пифагоровых тетраэдров. Ребра этих тетраэдров перечислены в таблице 2.

Таблица 2

a b c p q n 1) 1100 1155 1008 1595 1533 1492 2) 252 240 275 348 365 373 3) 720 132 85 732 157 725 4) 1584 187 1020 1595 1037 1884 5) 240 44 117 244 125 267 6) 880 429 2340 979 2379 2500 7) 231 792 160 825 808 281 8) 480 140 693 500 707 843 9) 3536 11220 2925 11764 11595 4589 10) 5796 528 6325 5820 6347 8579 11) 1008 1100 12075 1492 12125 12117

Замечу еще, что если пифагоров тетраэдр ОАВС дополнить до параллелепипеда с ребрами ОА, ОВ, ОС, то получится «пифагоров» параллелепипед, то есть прямоугольный параллелепипед с рациональными (или целыми) длинами всех ребер и всех диагоналей граней. На рисунке 23 показан параллелепипед, получающийся таким образом с помощью второго из приведенных выше пифагоровых тетраэдров. Однако диагональ этого параллелепипеда имеет иррациональную длину. Существует ли прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра, все диагонали граней и диагональ всего параллелепипеда имеют целые длины, неизвестно.
В заключении остановлюсь на вопросе о том, как были найдены указанные выше 11 рациональных решений уравнения (38). Для этого была использована электронная вычислительная машина. Алгоритм для вычислений на ЭВМ был составлен на основе следующих соображений. Пусть

, ,

(39)

где а, Ь, с, d, e, f - натуральные числа. Идея алгоритма - перебирать все такие шестерки, придавая каждому из шести чисел значения 1, 2, 25, по формулам (39) найти соответствующие тройки (ξ, η, ς) и из них отобрать те, которые удовлетворяют уравнению (38). В действительности целесообразнее, освободившись от знаменателей, вести вычисления не с ξ, η, ς, а с натуральными числами a, b, c, d, e, f. Дело в том, что при работе с рациональными числами ξ, η, ς компьютер заменил бы их некоторыми десятичными приближениями, которые точно не удовлетворяли бы уравнению (38).