Прямоугольные тетраэдры
Прямоугольный тетраэдр и его свойства
 
 
Главная страница

Введение
Определение
Углы в прямоугольном тетраэдре
Медианы тетраэдра
Бимедианы тетраэдра
Центроид тетраэдра
Площадь ортогональной проекции
Формула проекций граней
Объем тетраэдра
Теорема косинусов для прямоугольного тетраэдра
Зависимость между косинусами двугранных углов

Теоремы синусов
Теорема Эйлера
Свойство ортоцентра
Сравнение квадрата суммы и суммы квадратов действительных чисел
Барицентрические координаты точки
Неравенства для прямоугольного тетраэдра

Вписанный и описанный шар
Пифагоровы тетраэдры
Развертка
Исследование свойств
Обо мне
Применение


Задача №1
Задача №2
Пифагоровы задачи
Объем тетраэдра
 
Теорема. Объём прямоугольного тетраэдра равен  V=1/6 abc
Дано: ABCD - прямоугольный тетраэдр
Доказать: V=1/6 abc

Рис. 12


Доказательство: ABCD - прямоугольный тетраэдр, AB=a, BC=b, BD=c (рис. 12).
Я знаю, что объем пирамиды находится по формуле:

V=1/3 S_осн∙h

(16)
где Sосн - площадь основания, h - высота.
Выберу основанием ∆ABC, тогда a будет высотой прямоугольного тетраэдра. Площадь основания примет вид Sосн=1/2 b∙c
Подставляю в формулу объема пирамиды мои значения и получаю, что:

V=1/3∙1/2 b∙c∙a=1/6 abc


V=1/6 abc, что и требовалось доказать.

Теорема. Объём прямоугольного тетраэдра равен V=1/3 S_п∙r
Дано: Прямоугольный тетраэдр ABCD, T - центр вписанной сферы, TK = r радиус вписанной сферы, Sп - площадь полной поверхности прямоугольного тетраэдра.
Доказать: V=1/3 S_п∙r
Доказательство:

Рис. 13


Объем прямоугольного тетраэдра ABCD складывается из объемов тетраэдров TADB, TBCD, TABC, TADC (рис. 13).

В данном случае высотой является радиус вписанной окружности, т.е. r.
Используя формулу 16, получаю:

Ч.т.д.

ПЕРВАЯ ФОРМУЛА ШТАУДТА. За исходные формулы объема тетраэдра возьму две известные формулы:

V=1/6 abc и
где - векторы трех ребер тетраэдра с общим началом в его вершине. Выведу другие формулы объема тетраэдра.

Рис. 14


Пусть ребро DB - высота прямоугольного тетраэдра ABCD, AH - высота его грани ACD (рис. 14).
Тогда . Поэтому
.
Произведение есть синус Штаудта Δ(A) трехгранного угла A(BCD).
Итак, .

Эта формула известна под именем немецкого геометра Карла Штаудта (1798–1867), профессора Эрлангенского университета. Без использования обозначений ее можно высказать так: объем тетраэдра равен шестой части произведения длин трех ребер с общей вершиной и синуса Штаудта его триэдра с этой вершиной