В таком тетраэдре OABC ребра OA, OB, OC попарно перпендикулярны. Приму следующие обозначения: OA=a, OB=b, OC=c, S₁, S₂, S₃, S - площади граней OBC, OCA, OAB, ABC соответственно, h - высота тетраэдра, проведенная к грани ABC, R и r - радиусы описанной и вписанной сфер, V - объем.
На основании неравенства (22) . Поскольку , то

(25)

Левое из этих неравенств совпадает с неравенством 15б) для тетраэдра общего вида. Так как , , , , то неравенство (25) равносильно такому:

(26)

Принимая во внимание, что , на основании неравенства Коши получаю:

Таким образом,

(27)

Разделю равенство на . В результате буду иметь соотношение:

(28)

Используя неравенство Коши, получаю:

откуда

(29)

и поэтому

(30)

Дострою тетраэдр OABC до прямоугольного параллелепипеда. Учитывая, что радиус R описанной сферы равен половине диагонали этого параллелепипеда, а медиана OM тетраэдра - трети диагонали. Так как высота h не больше медианы OM, то , те есть

(31)

Из формулы 24 при получу:

Откуда , то .
На основании (26) . Следовательно,

(32)

Во всех полученных неравенствах знак равенства имеет место лишь при a=b=c.