Задача 1. Все плоские углы при одной вершине тетра­эдра прямые. Докажите, что длины отрезков, соеди­няющих середины его противоположных ребер, равны.
Решение.
Рассмотрю прямоугольный параллелепипед ребра AB, AD и AA₁ которого являются ребрами данного тетраэдра (рис. 24). Отрезок TE, соединяющий середины ребер AB и A₁D, является средней линией треугольника ABD₁

(параллельной BD₁); следовательно, его длина равна , где d - длина диагонали прямоугольного параллелепипеда. Затем аналогично рассмотрю ситуацию, когда отрезок MN, соединяющий середины ребер BD и A₁A, является средней линией треугольника ABD₁ (параллельной BD₁); следовательно, его длина равна и, следовательно, MN=TE, и так далее.