Центроид прямоугольного тетраэдра является центром равных масс, помещённых в его вершины.

1. Для того чтобы точка G была центроидом прямоугольного тетраэдра ABCD, необходимо и достаточно, чтобы

Дано: прямоугольный тетраэдр ABCD

Доказать:

(7)

Доказательство: Если G — центроид прямоугольного тетраэдра ABCD, то имеет место равенство (6) для произвольной точки O (рис. 7).

Рис. 7

Когда точка O совпадает с G, то  и (6) принимает вид (7). Обратно, пусть для некоторой точки G имеет место равенство (7), из которого , или , или , где M и N — середины ребер AB и CD. Следовательно, точка G является серединой бимедианы MN, т. е. центроидом тетраэдра.

2. Другое свойство центроида прямоугольного тетраэдра связано с объемами: тетраэдры GBCD, GCDA, GDAB, GABC равновелики.

Действительно, отношение высот AH и GH₁ тетраэдров ABCD и GBCD равно отношению  (рис. 7). Эти тетраэдры имеют общее основание BCD. Значит, . Объем каждого из четырех указанных тетраэдров равен четверти объема данного тетраэдра. В силу этого свойства центроид прямоугольного тетраэдра называют еще центром тяжести этого тетраэдра.
Теорема Лейбница. Сумма квадратов расстояний от произвольной точки P до вершин прямоугольного тетраэдра A₁A₂A₃A₄ равна сумме квадратов расстояний от его центроида G до вершин, сложенной с учетверенным квадратом расстояния от точки P до центроида G:

(8)

Действительно, , откуда  и поэтому

Так как , то равенство (8) доказано. Из теоремы Лейбница следует экстремальное свойство центроида прямоугольного тетраэдра: сумма квадратов расстояний от точки до вершин тетраэдра минимальна для его центроида. Оно является характеристическим свойством центроида прямоугольного тетраэдра.