ВПИСАННЫЙ ШАР

 

Рис. 19

1. На рисунке 19 рассмотрю плоскости (ABD) и (ACD). Построю множество точек равноудаленных от данных плоскостей. Это будет биссекторная плоскость двугранного угла с ребром BD. Обозначу её BKD.
2. Рассмотрю плоскости (BCD) и (BCA). Аналогично получу биссекторную плоскость BFC.
3. Рассмотрю плоскости (ABD) и (BAC). Аналогично получу биссекторную плоскость ATB. Следовательно, все точки этой прямой равноудалены от всех 3-х плоскостей. Что бы найти центр шара, рассмотрю (ACD) и (ACB).
4. Рассмотрю (ACD) и (ACB). (теорема о трёх перпендикулярах) EY - биссектриса угла BED. (ACY) - биссекторная плоскость двугранного угла с ребром AC. т. O равноудалена от всех 4-х граней тетраэдра. Рассмотрю шар с центром в т. O радиуса равного расстоянию от т. O до граней. Этот шар будет вписанным, так как касается всех граней.

ОПИСАННЫЙ ШАР

Рис. 20

1. На рисунке 20 найду множество точек равноудаленных от точек A и B. Это будет плоскость TKL, проходящая через середину AB и перпендикулярная ей.
2. найду множество точек равноудаленных от точек B и C. Это будет плоскость MEK, проходящая через середину BC и перпендикулярная ей.
   ZK=(TZKL)∩(ZEMK)
   каждая точка ZK равноудалена от точек A, B и C. Найду множество точек равноудаленных от B и D.
   

   (XTE)∩KZ=Z
   

   т. Z равноудалена от всех 4-х вершин. Рассмотрю сферу с центром в точке Z радиуса ZA. Так как сфера содержит все вершины тетраэдра значит она вписанная.
   
   Следствие:
   т. Z - центр описанной сферы у прямоугольного тетраэдра всегда лежит вне его.