Прямоугольные тетраэдры
Прямоугольный тетраэдр и его свойства
 
 
Главная страница

Введение
Определение
Углы в прямоугольном тетраэдре
Медианы тетраэдра
Бимедианы тетраэдра
Центроид тетраэдра
Площадь ортогональной проекции
Формула проекций граней
Объем тетраэдра
Теорема косинусов для прямоугольного тетраэдра
Зависимость между косинусами двугранных углов

Теоремы синусов
Теорема Эйлера
Свойство ортоцентра
Сравнение квадрата суммы и суммы квадратов действительных чисел
Барицентрические координаты точки
Неравенства для прямоугольного тетраэдра

Вписанный и описанный шар
Пифагоровы тетраэдры
Развертка
Исследование свойств
Обо мне
Применение


Задача №1
Задача №2
Пифагоровы задачи
Теорема о площади ортогональной проекции
 
Рассмотрю вопрос о формуле проекций граней прямоугольного тетраэдра. Предварительно рассмотрю ортогональное проектирование отрезка, лежащего в плоскости α, выделив два случая расположения этого отрезка относительно прямой l=α∩π.
Случай 1. AB∥l (рис. 8). Отрезок A1B1, являющийся ортогональной проекцией отрезка AB, равен и параллелен отрезку АВ.
Рис. 8

Случай 2. CD⊥l (рис. 8). По теореме о трех перпендикулярах прямая C1D1, являющаяся ортогональной проекцией прямой CD, также перпендикулярна прямой l. Следовательно, ∠CEC1 — угол между плоскостью α и плоскостью проекций π, т. е. , где C0D=C1D1. Поэтому |C1D1|=|CD|∙cosφ
Теперь рассмотрю вопрос об ортогональном проектировании треугольника.
Площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость равна площади проектируемого треугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью треугольника и плоскостью проекций.

Доказательство. Площадь проекции треугольника.
а) Пусть одна из сторон, например АС, проектируемого треугольника ABC параллельна прямой l=α∩π (рис. 9) или лежит на ней.

Рис. 9
Тогда его высота ВН перпендикулярна прямой l, а площадь равна 1/2 AC∙BH, т. е.

На основании выше рассмотренных свойств ортогональной проекции отрезка имею:

По теореме о трех перпендикулярах прямая B1H1 — ортогональная проекция прямой ВН — перпендикулярна прямой l, следовательно, отрезок В1Н1 — высота треугольника A1B1C1. Поэтому . Таким образом, .
б) Ни одна из сторон проектируемого треугольника ABC не параллельна прямой l (рис. 10). Проведу через каждую вершину треугольника прямую, параллельную прямой l. Одна из этих прямых лежит между двумя другими (на рисунке — это прямая m), и, следовательно, разбивает треугольник ABC на треугольники ABD и ACD с высотами соответственно ВН и СЕ, проведенными к их общей стороне AD (или ее продолжению), которая параллельна l. Прямая m1 — ортогональная проекция прямой m — также разбивает треугольник А1В1С1 — ортогональную проекцию треугольника ABC — на треугольники A1B1D1 и A1C1D1, где . Принимая во внимание (9) и (10), получаю

Итак, для произвольно расположенного в плоскости α треугольника ABC выполняется