Если в прямоугольном тетраэдре OABC ребра OA, OB, OC попарно перпендикулярны, то основание H высоты OH этого тетраэдра есть ортоцентр треугольника ABC.

Рис. 18

Дано: Прямоугольный тетраэдр OABC (рис. 18), OA⊥OB, OA⊥OC, OC⊥OB

Доказать: Точка H этого тетраэдра есть ортоцентр треугольника ABC

Доказательство: Поскольку OA⊥OB и OA⊥OC, то OA⊥(OBC) и поэтому OA⊥BC. Прямая AH есть проекция прямой OA на плоскость ABC. Так как BC⊥OA, то BC⊥AH. Аналогично AB⊥CH и CA⊥BH, т. е. точка H - ортоцентр треугольника ABC.