Медианы тетраэдра - отрезки, каждый из которых соединяет вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называются медианами тетраэдра.
Теорема. Медианы прямоугольного тетраэдра пересекаются в его центроиде и делятся им в отношении 3 : 1, считая от вершин.
Дано: прямоугольный тетраэдр ABCD, BN и AN - медианы.
Доказать: , BN∩AN=G

Доказательство 1. Пусть G₁ и G₂ - центроиды граней BCD и ACD прямоугольного тетраэдра ABCD (при вершине A 3 плоских угла - прямые) (рис. 6).

Рис. 6

Они принадлежат медианам BN и AN этих граней. По свойству центроида треугольника AG₂ : G₂N=2 и BG₁: G₁N=2. По обратной теореме Фалеса G₁G₂∥AB. На основании свойства трапеции прямые AG₁, BG₂ и MN пересекаются в одной точке K. По теореме Менелая для треугольника AMN и прямой BG₂ имею:

откуда  и MK:KN=1, т. е. точка K является серединой бимедианы MN и потому совпадает с центроидом G тетраэдра. Итак, две медианы AG₁ и BG₂ пересекаются в центроиде G. Значит, все четыре медианы имеют общую точку G. По теореме Менелая для треугольника ABG₁ и прямой MN:

или , откуда . Ясно, что это отношение не зависит от выбора медианы.

Доказательство 2. Возьму одну медиану AG₁ и разделю её в отношении 3 : 1 некоторой точкой P: