Объем тетраэдра продолжение » Геометрия | прямоугольные тетраэдры

Прямоугольный тетраэдр и его свойства

Главная страница

Введение

Определение

Углы в прямоугольном тетраэдре

Медианы тетраэдра

Бимедианы тетраэдра

Центроид тетраэдра

Площадь ортогональной проекции

Формула проекций граней

Объем тетраэдра

Теорема косинусов для прямоугольного тетраэдра

Зависимость между косинусами двугранных углов

Теоремы синусов

Теорема Эйлера

Свойство ортоцентра

Сравнение квадрата суммы и суммы квадратов действительных чисел

Барицентрические координаты точки

Неравенства для прямоугольного тетраэдра

Вписанный и описанный шар

Пифагоровы тетраэдры

Развертка

Исследование свойств

Применение

Задача №1

Задача №2

Пифагоровы задачи

Объем тетраэдра продолжение

ФОРМУЛЫ ДОСТОРА. По формуле Штаудта

Замечу, что

и

. Тогда

Итак

(17)

Для рёбра AB справедливо:

Так как

.
Аналогично получается для рёбер BD, BC.
Следствие. Умножу почленно два из этих равенств:

Произведение

есть синус второго рода Δ'(A) тетраэдра ABCD, а

. Следовательно

(18)

ФОРМУЛА ЮНГИУСА. ВЫРАЖЕНИЕ ОБЪЁМА ТЕТРАЭДРА ЧЕРЕРЗ ДЛИНЫ ЕГО РЁБЕР.

Умножу каждую строку этого определителя на 2 и все удвоенные скалярные произведения заменю по теореме косинусов для треугольника:

Представлю полученный определитель в раскрытом виде. После надлежащих преобразований имею окончательно:

Эта формула впервые была найдена другим путем немецким ученым И. Юнгиусо (1587–1657) и называется его именем

Назад (объм через радиус вписанной сферы, первая формула Штаудта)